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Tal teorema para campo elétrico $\vec{E}$ (pois tem também para campo gravitacional $\vec{g}$) diz que o campo elétrico $\vec{E}$ :
Em linguagem mais matemática, se a densidade superficial de cargas elétricas for constante, $\lambda = \lambda_0 = \text{cte}$, na casca esférica de raio $R$ centrada na origem, o observador (carga-teste) na posição $\vec{r}_0$ mede :
O campo elétrico $\vec{E}$ para uma casca esférica carregada eletricamente pode ser resolvido via integral de superfície com densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}')$ na superfície $S$ da casca esférica :
Ao adotar distribuição homogênea de carga elétrica na superfície $S$ da casca esférica, i. e., densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}') = \sigma_0 = \text{cte}$ :
Por exemplo, usando coordenadas esféricas $(r, \phi, \theta)$, com $0 \le \phi \le \pi$ (ângulo de inclinação em relação ao eixo $z$) e $0 \le \theta \le 2\pi$ (ângulo azimutal, no plano $xy$, a partir do eixo $x$), com o observador fora da casca esférica :
sendo que $ dA' = h_{\phi'} h_{\theta'}\,d\theta' d\phi' = (r)(r \sin\phi') d\theta' d\phi' = r^2 \sin\phi'\,d\theta' d\phi' $, bem como $r = R$ pois a casca esférica tem raio $R$, então :
Resta então substituir os vetores $\vec{r}_0$ e $\vec{r}$ em componentes esféricas porém usando vetores base cartesianos (tal que a diferença de vetores-posição faça sentido usando os mesmos vetores base), algebrismo e (tentativa de) resolver a integral, que não é de fácil solução.
Novamente podemos evitar tal integral dupla de superfície, trocando por duas integrais simples, sendo a primeira feita no cálculo anterior (1.d) de anel circular carregado eletricamente de forma homogênea. A 2a integral usa o resultado desse anel circular :
substituindo :
e calculando o diferencial em relação a $Q$ :
em que cada anel varrendo a casca esférica tem comprimento de circunferência $(2\pi\,r_a')$ e espessura $(R d\phi')$.
Vide as figuras para melhor compreensão :
Tal que o diferencial de campo elétrico é :
Vendo as figuras fica claro que :
$$ r_a' = R \sin \phi' $$$$ z_a' = R \cos \phi' $$$$ dQ = \sigma_0\,dA' = \sigma_0 (2\,\pi\,R \sin \phi') (R\,d\phi') = 2\,\pi\,\sigma_0\,R^2 \sin \phi'\,d\phi' $$Logo :
Então basta integrar em relação a $\phi'$ de $0$ a $\pi$ para varrer a casca esférica :
Mudando variáveis de integração para resolver as 2 integrais :
Aplicando na 1a integral :
$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{s'\,ds'}{|s'|^3} \hat{k} $$$ s'(0) = s'(\phi'=0) $ :
$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos 0 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R = (z_0 - R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(0) = z_0 - R $$$ s'(\pi) = s'(\phi'=\pi) $ :
$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \pi = z_0^2 + R^2 + 2 z_0 R = (z_0 + R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(\pi) = z_0 + R $$Resolvendo em relação a $s'$ sendo positivo :
$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{ds'}{s'^2} \hat{k} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{-1}{s'} \right]_{z_0 - R}^{z_0 + R} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{1}{z_0 - R} - \frac{1}{z_0 + R} \right] $$Na 2a integral :
$$ R \cos \phi' = \frac{s'^2 - z_0^2 - R^2}{- 2 z_0} = \frac{z_0^2 + R^2 - s'^2}{2 z_0} $$Mostrar o resultado de $\vec{E}_{II}(z_0)$, depois somando com o de $\vec{E}_{I}(z_0)$. Compare com campo elétrico de carga pontual centrada na origem, medido no eixo $z$.
Divergente de $\vec{E}$ é nulo nos pontos em que não há carga elétrica :
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \frac{N}{C\,m} $$Rotacional de $\vec{E}$ é nulo em Eletrostática :
$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \frac{N}{C\,m} $$Divergente de $\vec{E}$ é não-nulo somente nos pontos em que há carga elétrica :
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho }{\epsilon_0} $$Que é a 1a equação de Maxwell, na forma diferencial.
Divergente é um operador diferencial vetorial que atua sobre função vetorial e gera função escalar.
Em coordenadas cartesianas 3D $(x, y, z)$ :
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$em coordenadas cilíndricas $(\rho, \theta, z)$ :
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\,(\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$em coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$ :
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial\,(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial\,(sen \theta F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} $$Calcule o divergente em coordenadas esféricas :
$$\vec{\nabla} \cdot \vec{r}$$Resolução do professor :
Note que a expressão do divergente em coordenadas esféricas só é válida para $(r \ne 0\,m)$ e $(sen\,\theta \ne 0)$ :
Logo :
O resultado de um operador diferencial vetorial não deve depender do sistema de coordenadas escolhido.