Disciplina - DQF10648 Eletromagnetismo I

Aula em 22/07/2021 - Semestre 2021/1 EARTE

DQF - CCENS - UFES/Alegre

Professor : Roberto Colistete Jr.

"Capítulo 2 - Eletrostática" do livro Griffiths

Tópicos de hoje :

(Continuação) Teorema das Cascas Esféricas (homogêneas) para campo elétrico $\vec{E}$

Tal teorema para campo elétrico $\vec{E}$ (pois tem também para campo gravitacional $\vec{g}$) diz que o campo elétrico $\vec{E}$ :

Em linguagem mais matemática, se a densidade superficial de cargas elétricas for constante, $\lambda = \lambda_0 = \text{cte}$, na casca esférica de raio $R$ centrada na origem, o observador (carga-teste) na posição $\vec{r}_0$ mede :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \vec{0}\,\frac{N}{C} \,\,\,\,\,\, \text{se }\,\,\, r_0 < R $$$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{Q\,\vec{r}_0}{4\pi\epsilon_0\,r_0^3} \,\,\,\,\,\, \text{se }\,\,\, r_0 > R $$

O campo elétrico $\vec{E}$ para uma casca esférica carregada eletricamente pode ser resolvido via integral de superfície com densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}')$ na superfície $S$ da casca esférica :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma(\vec{r}')\,\vec{r}\,dA'}{|\vec{r}|^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma(\vec{r}')(\vec{r}_0-\vec{r}')\,dA'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Ao adotar distribuição homogênea de carga elétrica na superfície $S$ da casca esférica, i. e., densidade superficial de carga elétrica, $\sigma(\vec{r}') = \sigma_0 = \text{cte}$ :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{\sigma_0}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{(\vec{r}_0-\vec{r}')\,dA'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Por exemplo, usando coordenadas esféricas $(r, \phi, \theta)$, com $0 \le \phi \le \pi$ (ângulo de inclinação em relação ao eixo $z$) e $0 \le \theta \le 2\pi$ (ângulo azimutal, no plano $xy$, a partir do eixo $x$), com o observador fora da casca esférica :

image.png

sendo que $ dA' = h_{\phi'} h_{\theta'}\,d\theta' d\phi' = (r)(r \sin\phi') d\theta' d\phi' = r^2 \sin\phi'\,d\theta' d\phi' $, bem como $r = R$ pois a casca esférica tem raio $R$, então :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \frac{\sigma_0}{4\pi\epsilon_0} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{(\vec{r}_0-\vec{r}')\,R^2 \sin\phi'\,d\theta'\,d\phi'}{|\vec{r}_0-\vec{r}'|^3} $$

Resta então substituir os vetores $\vec{r}_0$ e $\vec{r}$ em componentes esféricas porém usando vetores base cartesianos (tal que a diferença de vetores-posição faça sentido usando os mesmos vetores base), algebrismo e (tentativa de) resolver a integral, que não é de fácil solução.

Usando duas integrais simples no lugar de uma integral dupla

Novamente podemos evitar tal integral dupla de superfície, trocando por duas integrais simples, sendo a primeira feita no cálculo anterior (1.d) de anel circular carregado eletricamente de forma homogênea. A 2a integral usa o resultado desse anel circular :

$$ \vec{E}(z_0) = \frac{Q\,z_0}{4\pi\epsilon_0 (z_0^2 + R^2)^{3/2}} \hat{k} $$

substituindo :

e calculando o diferencial em relação a $Q$ :

$$ dQ = \sigma_0\,dA' = \sigma_0 (2\,\pi\,r_a') (R\,d\phi') $$

em que cada anel varrendo a casca esférica tem comprimento de circunferência $(2\pi\,r_a')$ e espessura $(R d\phi')$.

Vide as figuras para melhor compreensão :

image.png

image.png

Tal que o diferencial de campo elétrico é :

$$ d\vec{E} = \frac{dQ\,(z_0 - z_a')}{4\pi\epsilon_0 \left[ (z_0 - z_a')^2 + r_a'^2 \right]^{3/2}} \hat{k} $$

Vendo as figuras fica claro que :

$$ r_a' = R \sin \phi' $$$$ z_a' = R \cos \phi' $$$$ dQ = \sigma_0\,dA' = \sigma_0 (2\,\pi\,R \sin \phi') (R\,d\phi') = 2\,\pi\,\sigma_0\,R^2 \sin \phi'\,d\phi' $$

Logo :

$$ d\vec{E} = \frac{2\,\pi\,\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{4\pi\epsilon_0 \left[ (z_0 - R \cos \phi')^2 + (R \sin \phi')^2 \right]^{3/2}} \hat{k} $$
$$ \rightarrow \,\,\, d\vec{E} = \frac{\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{2\epsilon_0 \left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

Então basta integrar em relação a $\phi'$ de $0$ a $\pi$ para varrer a casca esférica :

$$ \vec{E}(\vec{r}_0) = \vec{E}(z_0) = \int d\vec{E} = \int_{0}^{\pi} \frac{\sigma_0\,R^2\,(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{2\epsilon_0 \left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$
$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}(z_0) = \frac{\sigma_0\,R^2}{2\epsilon_0 } \int_{0}^{\pi} \frac{(z_0 - R \cos \phi')\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$
$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}(z_0) = \frac{\sigma_0\,R^2 z_0}{2\epsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} - \frac{\sigma_0\,R^3}{2\epsilon_0 } \int_{0}^{\pi} \frac{\cos \phi'\sin \phi'\,d\phi'}{\left( z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' \right)^{3/2}} \hat{k} $$

Mudando variáveis de integração para resolver as 2 integrais :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \phi' $$$$ \rightarrow \,\,\, 2\,s'\,ds' = 0 + 0 - 2 z_0 R (- \sin \phi') d\phi' = 2 z_0 R \sin \phi' d\phi' $$$$ \rightarrow \,\,\, \sin \phi' d\phi' = \frac{s'\,ds'}{z_0 R} $$

Aplicando na 1a integral :

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{s'\,ds'}{|s'|^3} \hat{k} $$

$ s'(0) = s'(\phi'=0) $ :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos 0 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R = (z_0 - R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(0) = z_0 - R $$

$ s'(\pi) = s'(\phi'=\pi) $ :

$$ s'^2 = z_0^2 + R^2 - 2 z_0 R \cos \pi = z_0^2 + R^2 + 2 z_0 R = (z_0 + R)^2 $$$$ \rightarrow \,\,\, s'(\pi) = z_0 + R $$

Resolvendo em relação a $s'$ sendo positivo :

$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_I(z_0) = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \int_{s'(0)}^{s'(\pi)} \frac{ds'}{s'^2} \hat{k} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{-1}{s'} \right]_{z_0 - R}^{z_0 + R} = \frac{\sigma_0\,R}{2\epsilon_0} \left[ \frac{1}{z_0 - R} - \frac{1}{z_0 + R} \right] $$

Na 2a integral :

$$ R \cos \phi' = \frac{s'^2 - z_0^2 - R^2}{- 2 z_0} = \frac{z_0^2 + R^2 - s'^2}{2 z_0} $$
$$ \rightarrow \,\,\, \vec{E}_{II}(z_0) = -\frac{\sigma_0\,R}{4\epsilon_0 z_0^2} \int_{s(0)}^{s(\pi)} \frac{z_0^2 + R^2 - s'^2}{2 z_0} \frac{s'\,ds'}{|s'|^3} \hat{k} $$

(TAREFA PARA AULA SEGUINTE)

Mostrar o resultado de $\vec{E}_{II}(z_0)$, depois somando com o de $\vec{E}_{I}(z_0)$. Compare com campo elétrico de carga pontual centrada na origem, medido no eixo $z$.

Divergente e rotacional de campo elétrico $\vec{E}$

Divergente de $\vec{E}$ é nulo nos pontos em que não há carga elétrica :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \frac{N}{C\,m} $$

Rotacional de $\vec{E}$ é nulo em Eletrostática :

$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \frac{N}{C\,m} $$

Lei de Gauss na forma diferencial

Divergente de $\vec{E}$ é não-nulo somente nos pontos em que há carga elétrica :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho }{\epsilon_0} $$

Que é a 1a equação de Maxwell, na forma diferencial.

Exercícios de cálculo aplicado de operadores diferenciais vetoriais

Divergente : $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}$

Revisão

Divergente é um operador diferencial vetorial que atua sobre função vetorial e gera função escalar.

Em coordenadas cartesianas 3D $(x, y, z)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

em coordenadas cilíndricas $(\rho, \theta, z)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\,(\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

em coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial\,(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial\,(sen \theta F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} $$

Exercício

Calcule o divergente em coordenadas esféricas :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{r}$$

Resolução do professor :

$$\vec{r} = r\,\hat{r} = \vec{F} = F_r \hat{r} + 0\,\hat{\theta} + 0\,\hat{\phi}$$$$F_r = r \quad,\quad F_{\theta} = 0 \quad,\quad F_\phi = 0 $$

Note que a expressão do divergente em coordenadas esféricas só é válida para $(r \ne 0\,m)$ e $(sen\,\theta \ne 0)$ :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial\,(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial\,(sen \theta F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial\,F_\phi}{\partial \phi} $$

Logo :

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{r} = \vec{\nabla} \cdot (r\,\hat{r}) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial\,(r^2 r)}{\partial r} = 3 \frac{r^2}{r^2} = 3$$

O resultado de um operador diferencial vetorial não deve depender do sistema de coordenadas escolhido.